Задание №86553 ЕГЭ Профильной математике

Пусть $\mathrm{x}$ кг — масса 30-процентного раствора, а $\mathrm{y}$ кг — масса 60-процентного раствора кислоты.

Тогда масса кислоты в 30-процентном растворе равна $\mathrm{x}\cdot \frac{30}{100}$ кг, в 60-процентном — $\mathrm{y}\cdot \frac{60}{100}$кг, в воде — $10\cdot \frac{0}{100}$кг, а в 36-процентном растворе $(\mathrm{x}+\mathrm{y}+10)\cdot \frac{36}{100}$ При этом масса кислоты в 36-процентном растворе равна массе кислоты в 30-процентном, 60-процентном растворах и воде. Таким образом, первое уравнение будет иметь вид:

$\mathrm{x}\cdot \frac{30}{100}+\mathrm{y}\cdot \frac{60}{100}+10\cdot \frac{0}{100}=(\mathrm{x}+\mathrm{y}+10)\cdot \frac{36}{100}$

$30\mathrm{x}+60\mathrm{y}=36(\mathrm{x}+\mathrm{y}+10)\mathrm{.}$

Рассмотрим случай, когда вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора кислоты.

Рассуждая аналогично, как и в первом случае, получим второе уравнение:

$\mathrm{x}\cdot \frac{30}{100}+\mathrm{y}\cdot \frac{60}{100}+10\cdot \frac{50}{100}=(\mathrm{x}+\mathrm{y}+10)\cdot \frac{41}{100}$

$30\mathrm{x}+60\mathrm{y}+500=41(\mathrm{x}+\mathrm{y}+10)\mathrm{.}$

Таким образом, получаем систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}30\mathrm{x}+60\mathrm{y}=36(\mathrm{x}+\mathrm{y}+10),\\ 30\mathrm{x}+60\mathrm{y}+500=41(\mathrm{x}+\mathrm{y}+10)\end{array}\right.$

Вычтем из второго уравнения первое:

$500=5(\mathrm{x}+\mathrm{y}+10)$

$$\begin{gathered} 100=\mathrm{x}+\mathrm{y}+10 \\ \mathrm{y}=90-\mathrm{x} \end{gathered}$$

Подставим выражение для $y$ в первое уравнение:

$$\begin{gathered} 30\mathrm{x}+60(90-\mathrm{x})=3600 \\ 30\mathrm{x}-60\mathrm{x}=3600-5400 \\ -30\mathrm{x}=-1800 \\ \mathrm{x}=60. \end{gathered}$$

Следовательно, для получения смеси использовали 60 кг 30-процентного раствора.