Задание №86563 ЕГЭ Профильной математике

Пусть в первый день турист прошёл ${\mathrm{a}}_1$ км, во второй — ${\mathrm{a}}_2$, …, в последний шестой день — ${\mathrm{a}}_6$ км.

Сумма арифметической прогрессии: ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{{\mathrm{a}}_1+{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}}{2}\cdot \mathrm{n}$

По условию задачи: ${\mathrm{a}}_1=10$, а ${\mathrm{S}}_6=120$. Подставляем эти значения в формулу:

$$\begin{gathered} 120=\frac{10+{\mathrm{a}}_6}{2}\cdot 6 \\ 10+{\mathrm{a}}_6=40 \\ {\mathrm{a}}_6=30. \end{gathered}$$

Следовательно, в последний день турист прошёл 30 км.

Чтобы определить, сколько километров турист прошёл за третий день, воспользуемся формулой для $n$-го члена арифметической прогрессии:

${\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{a}}_1+\mathrm{d}(\mathrm{n}-1),$ где $\mathrm{d}$ — разность арифметической прогрессии, то есть на сколько километров турист проходил в день больше, чем в предыдущий. Тогда:

$$\begin{gathered} {\mathrm{a}}_6={\mathrm{a}}_1+5\mathrm{d} \\ 30=10+5\mathrm{d} \\ \mathrm{d}=4. \end{gathered}$$

Теперь можем найти расстояние, пройденное туристом за третий день:

${\mathrm{a}}_3={\mathrm{a}}_1+2\mathrm{d}=10+2\cdot 4=18.$

Следовательно, за третий день турист прошёл 18 км.