Задание №86568 ЕГЭ Профильной математике

Пусть в первый день Вера подписала ${\mathrm{a}}_1$ открыток, во второй — ${\mathrm{a}}_2$, …, в последний шестнадцатый день — ${\mathrm{a}}_{16}$ открыток.

Сумма арифметической прогрессии: ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{{\mathrm{a}}_1+{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}}{2}\cdot \mathrm{n}\mathrm{.}$

По условию задачи: ${\mathrm{a}}_1=10$, а ${\mathrm{S}}_{16}=640$. Подставляем эти значения в формулу:

$$\begin{gathered} 640=\frac{10+{\mathrm{a}}_{16}}{2}\cdot 16 \\ 10+{\mathrm{a}}_{16}=80 \\ {\mathrm{a}}_{16}=70. \end{gathered}$$

Следовательно, в последний день Вера подписала 70 открыток.

Чтобы определить, сколько открыток Вера подписала за четвёртый день, воспользуемся формулой для $n$-го члена арифметической прогрессии:

${\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{a}}_1+\mathrm{d}\cdot (\mathrm{n}-1),$

где $\mathrm{d}$ — разность арифметической прогрессии. В нашем случае это на сколько открыток Вера подписала за день больше, чем в предыдущий день. Для ${\mathrm{a}}_{16}$ имеем:

$$\begin{gathered} {\mathrm{a}}_{16}={\mathrm{a}}_1+15\mathrm{d} \\ 70=10+15\mathrm{d} \\ \mathrm{d}=4. \end{gathered}$$

Теперь, чтобы найти количество открыток, подписанных в четвёртый день, подставим $\mathrm{d}$ в формулу для ${\mathrm{a}}_4$:

${\mathrm{a}}_4={\mathrm{a}}_1+3\mathrm{d}=10+3\cdot 4=22.$

Следовательно, за четвёртый день Вера подписала 22 открытки.