Задание №89503 ЕГЭ Профильной математике

Если прямая $\mathrm{MN}\parallel \mathrm{\alpha }\Rightarrow \mathrm{MN}$ параллельна некоторой прямой, лежащей в $\mathrm{\alpha }$. Проведем $\mathrm{NS}\perp \mathrm{BC}, \mathrm{NS}\cap \mathrm{KP}=\mathrm{O}$. В плоскости $\mathrm{MNS}$ проведем $\mathrm{OH}\parallel \mathrm{MN}\Rightarrow \mathrm{MH}=\mathrm{HS}$. Тогда прямая $\mathrm{KH}\cap \mathrm{AB}=\mathrm{T}$. Так как плоскости $\mathrm{ABC}$ и ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$ параллельны, то $\mathrm{\alpha }$ пересечет плоскость ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$ по прямой, параллельной $\mathrm{KT}$. Следовательно, проведем $\mathrm{PR}\parallel \mathrm{KT}$. Таким образом, $\mathrm{TRPK}$ – искомое сечение (трапеция).

б) Заметим, что $\mathrm{CK}=\frac{1}{6}·5=\frac{5}{2}\Rightarrow \mathrm{KS}=5$. Т.к. $\mathrm{MS}$ – средняя линия треугольника $\mathrm{ABC}\Rightarrow \mathrm{MS}=8\Rightarrow \mathrm{HS}=4$. Так как $\angle \mathrm{HSK}=\angle \mathrm{ABC}$, то по теореме косинусов $\mathrm{HK}=\sqrt{16+25-2·4·5·\frac{4}{5}}=3$. Таким образом, по обратной теореме Пифагора треугольник $\mathrm{HKS}$ – прямоугольный, следовательно, $\angle \mathrm{H}=90$. Таким образом, по теореме о трех перпендикулярах, из того, что $\mathrm{NS}\perp \left(\mathrm{ABC}\right), \mathrm{HS}\perp \mathrm{KT}\Rightarrow \mathrm{OH}\perp \mathrm{KT}$.

Проведем ${\mathrm{PH}}_1\perp \mathrm{KT}$. Из подобия треугольников $\mathrm{HOK}$ и ${\mathrm{H}}_1\mathrm{PK}$ следует, что ${\mathrm{PH}}_1=2\mathrm{OH}$. Т.к. $\mathrm{OS}=\frac{1}{2}\mathrm{NS}=4, \mathrm{HS}=4\Rightarrow \mathrm{OH}=4\sqrt{2}$. Таким образом найдена высота трапеции ${\mathrm{PH}}_1=8\sqrt{2}$.
 

Найдем основания трапеции $\mathrm{KT}$ и $\mathrm{PR}$.

$$\begin{gathered} \sin \angle \mathrm{KSH}=\frac{3}{5}=\sin \angle \mathrm{B}=\frac{\mathrm{KT}}{\mathrm{KB}}\Rightarrow \mathrm{KT}=\frac{15}{2} \\ ∆{\mathrm{PRB}}_1~∆\mathrm{KTB}\Rightarrow \mathrm{PR}=\frac{3}{2} \end{gathered}$$.

Таким образом, ${\mathrm{S}}_{\mathrm{TRPK}}=\frac{1}{2}·(\frac{15}{2}+\frac{3}{2})·8\sqrt{2}=36\sqrt{2}.$