Задание №89507 ЕГЭ Профильной математике

2) Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей, то они пересекаются по прямой, также перпендикулярной этой плоскости. Отсюда следует, что так как $\mathrm{PAB}\perp \mathrm{ABC}$ и $\mathrm{PCD}\perp \mathrm{ABC}$, то $\mathrm{PK}\perp \mathrm{ABC}$.

3) Так как $\mathrm{PK}\perp \mathrm{ABC}$, то $\mathrm{PK}\perp \mathrm{KA}$ и $\mathrm{PK}\perp \mathrm{KD}$.

Значит, $\angle \mathrm{AKD}$ - линейный угол двугранного угла между плоскостями $\mathrm{PAB}$ и $\mathrm{PCD}$. Следовательно, $\mathrm{PAB}\perp \mathrm{PCD}$.

б) Обозначим $\mathrm{BK}=\mathrm{x},\mathrm{CK}=\mathrm{y}$.

1) $△\mathrm{BKC}~△\mathrm{AKD}$, так как $\mathit{A}\mathit{D}\Vert \mathit{B}\mathit{C}$.

Тогда 

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{AK}}{\mathrm{BK}}=\frac{\mathrm{DK}}{\mathrm{CK}} \\ \frac{\mathrm{AB}+\mathrm{BK}}{\mathrm{BK}}=\frac{\mathrm{CD}+\mathrm{CK}}{\mathrm{CK}} \\ \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BK}}+1=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{CK}}+1 \\ \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BK}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{CK}} \\ \frac{3}{\mathrm{x}}=\frac{4}{\mathrm{y}} \\ \mathrm{x}=\frac{3}{4}\mathrm{y} \end{gathered}$$.

2) По теореме Пифагора 

$$\begin{gathered} {\mathrm{BK}}^2+{\mathrm{CK}}^2={\mathrm{BC}}^2 \\ {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2=5^2;{ \\ }^2+{\mathrm{y}}^2=25 \\ \frac{25}{16}{\mathrm{y}}^2=25 \\ \mathrm{y}=4 \\ \mathrm{x}=\frac{3}{4}\mathrm{y}=3 \end{gathered}$$

3) ${\mathrm{S}}_{\mathrm{KBC}}=\frac{1}{2}\mathrm{BK}·\mathrm{CK}=\frac{1}{2}·3·4=6$.

4) ${\mathrm{V}}_{\mathrm{PKBC}}=\frac{1}{3}{\mathrm{S}}_{\mathrm{KBC}}·\mathrm{PK}=\frac{1}{3}·6·7=14$.