Задание №89844 ЕГЭ Профильной математике

1. Построим сечение призмы плоскостью $\mathrm{\alpha }$.

Грани $\mathrm{ABCD}$ и ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$ параллельны, значит плоскость α пересекает их по параллельным прямым.

По условию плоскость α параллельна прямой ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{C}}_1$, то есть содержит прямую, параллельную ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{C}}_1$. Поэтому, проведя через точку $\mathrm{K}$ прямую $\mathrm{KP}(\mathrm{P}\in {\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1)$, параллельную прямой ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{C}}_1$, и через точку $\mathrm{A}$ — прямую $\mathrm{AC}$, параллельную прямой ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{C}}_1$ (прямая $\mathrm{AC}$ содержит диагональ нижнего основания) получим трапецию $\mathrm{AKPC}$ — искомое сечение.

2. Выберем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. Найдём координаты нужных точек: $\mathrm{B}(0;0;0),\mathrm{F}(8\sqrt{2};8\sqrt{2};4),\mathrm{A}(8\sqrt{2};0;0),\mathrm{C}(0;8\sqrt{2};0),\mathrm{K}(4\sqrt{2};0;16),\mathrm{P}(0;4\sqrt{2};16)$.

3. Рассмотрим векторы $\overrightarrow{\mathrm{BF}}(8\sqrt{2};8\sqrt{2};4),\overrightarrow{\mathrm{AP}}(-8\sqrt{2};4\sqrt{2};16)$ и $\overrightarrow{\mathrm{CK}}(4\sqrt{2};-8\sqrt{2};16)$.

Так как $\overrightarrow{\mathrm{BF}}·\overrightarrow{\mathrm{AP}}=8\sqrt{2}(-8\sqrt{2})+8\sqrt{2}·4\sqrt{2}+16·4=0$, то $\overrightarrow{\mathrm{BF}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AP}}$.

Так как $\overrightarrow{\mathrm{BF}}·\overrightarrow{\mathrm{CK}}=8\sqrt{2}·4\sqrt{2}+8\sqrt{2}·(-8\sqrt{2})+4·16=0$, то $\overrightarrow{\mathrm{BF}}\perp \overrightarrow{\mathrm{CK}}$.

Отсюда следует, что $\mathrm{BF}\perp \mathrm{\alpha }$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости ($\mathrm{BF}$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости).

б) Искомый объём $\mathrm{V}=\frac{1}{3}\mathrm{S}·\mathrm{h}$, где $\mathrm{S}$ — площадь четырёхугольника $\mathrm{AKPC}$, а высота $\mathrm{h}$ — расстояние от точки $\mathrm{B}$ до плоскости $\mathrm{\alpha }$.

1. ${\mathrm{S}}_{\mathrm{AKPC}}=\frac{1}{2}\mathrm{AP}·\mathrm{CKsin\beta }$, где $\mathrm{\beta }$ — угол между диагоналями $\mathrm{AP}$ и $\mathrm{CK}$ четырёхугольника $\mathrm{AKPC}$.

$\mathrm{cos\beta }=\frac{\overrightarrow{\mathrm{AP}}·\overrightarrow{\mathrm{CK}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|·|\overrightarrow{\mathrm{CK}}|}=\frac{-8\sqrt{2}·4\sqrt{2}+4\sqrt{2}(-8\sqrt{2})+16·16}{\sqrt{{(-8\sqrt{2})}^2+{\left(4\sqrt{2}\right)}^2+{16}^2}·\sqrt{{\left(4\sqrt{2}\right)}^2+{(-8\sqrt{2})}^2+{16}^2}}=\frac{-64-64+256}{416}=\frac{128}{416}=\frac{4}{13};|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{CK}}|=\sqrt{416}$.

$\mathrm{sin\beta }=\sqrt{1-{\cos }^2\mathrm{\beta }}=\sqrt{1-\frac{16}{169}}=\frac{3\sqrt{17}}{13}$.

Таким образом $\mathrm{S}=\frac{1}{2}·\sqrt{416}·\sqrt{416}·\frac{3\sqrt{17}}{13}=48\sqrt{17}$.

2. Чтобы найти $\mathrm{h}$ необходимо найти уравнение плоскости $\mathrm{\alpha }$. Оно имеет вид $\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{cz}+\mathrm{d}=0$, где $\overrightarrow{\mathrm{n}}(\mathrm{a};\mathrm{b};\mathrm{c})$ — вектор нормали этой плоскости.

Согласно пункту а) одним из векторов нормали является вектор $\overrightarrow{\mathrm{BF}}(8\sqrt{2};8\sqrt{2};4)$.

Значит, уравнение плоскости имеет вид $8\sqrt{2}\mathrm{x}+8\sqrt{2}\mathrm{y}+4\mathrm{z}+\mathrm{d}=0\left(1\right)$.

Чтобы найти значение $\mathrm{d}$ подставим координаты точки $\mathrm{A}(8\sqrt{2};0;0)$ в уравнение (1) и получим $8\sqrt{2}·8\sqrt{2}+\mathrm{d}=0,\mathrm{d}=-128$.

Уравнение плоскости $\mathrm{\alpha }$ примет вид $8\sqrt{2}\mathrm{x}+8\sqrt{2}\mathrm{y}+4\mathrm{z}-128=0$.

Найдём расстояние $\mathrm{h}$ от точки $\mathrm{B}(0;0;0)$ до плоскости сечения.

$\mathrm{h}=\frac{|{\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0+{\mathrm{cz}}_0+\mathrm{d}|}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2}}=\frac{|8\sqrt{2}·0+8\sqrt{2}·0+4·0-128|}{\sqrt{{\left(8\sqrt{2}\right)}^2+{\left(8\sqrt{2}\right)}^2+16}}=\frac{32}{\sqrt{17}}$, где (${\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0;{\mathrm{z}}_0$ ) — координаты точки $\mathit{B}$.

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}·\mathrm{S}·\mathrm{h}=\frac{1}{3}·48\sqrt{17}·\frac{32}{\sqrt{17}}=512$.