Задание №114489 ЕГЭ Профильной математике

а) Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат, значит, ребра $AB$ и $DC$ параллельны, а потому и плоскость $\alpha$ параллельна ребру $DC$. Следовательно, лежащая в плоскости $\alpha$ прямая $MN$ также параллельна ребру $DC$. Тогда треугольники $SNM$ и $SDC$ подобны по двум углам с коэффициентом $\frac{1}{5}$. Таким образом, $SN:SD=1:5$, а потому $SN:ND=1:4$. Поскольку боковые ребра правильной пирамиды равны, $SM:MC=1:4$.

б) Пусть $MN=x$ и $SM=y$, тогда $MC=4y$ и $AB=AN=BM=5x$, и пусть точки $K,P$ и $Q$ — середины отрезков $AB,MN$ и $DC$ соответственно.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен $PK$, а гипотенуза равна $BM$. Тогда второй катет такого треугольника будет равен $BK-MP$. Аналогично получается прямоугольный треугольник с катетами $PQ,QC-PM$ и гипотенузой $MC$. Применим к обоим фигурам теорему Пифагора:
${\mathrm{PK}}^2={\mathrm{BM}}^2-(\mathrm{BK}-\mathrm{MP}{)}^2=(5\mathrm{x}{)}^2-{(\frac{5\mathrm{x}}{2}-\frac{\mathrm{x}}{2})}^2=21{\mathrm{x}}^2,$
${\mathrm{PQ}}^2={\mathrm{MC}}^2-(\mathrm{QC}-\mathrm{PM}{)}^2=(4\mathrm{y}{)}^2-{(\frac{5\mathrm{x}}{2}-\frac{\mathrm{x}}{2})}^2=16{\mathrm{y}}^2-4{\mathrm{x}}^2\mathrm{.}$

Косинус искомого угла равен косинусу угла между прямыми, перпендикулярными линии пересечения этих плоскостей, то есть $\cos \angle PKQ$ — искомый. Воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике $PKQ$:
$\cos \mathrm{\angle }\mathrm{PKQ}=\frac{{\mathrm{PK}}^2+{\mathrm{KQ}}^2-{\mathrm{PQ}}^2}{2\cdot \mathrm{PK}\cdot \mathrm{KQ}}=\frac{21{\mathrm{x}}^2+25{\mathrm{x}}^2-16{\mathrm{y}}^2+4{\mathrm{x}}^2}{2\cdot \sqrt{21}\mathrm{x}\cdot 5\mathrm{x}}=\frac{50{\mathrm{x}}^2-16{\mathrm{y}}^2}{10\sqrt{21}{\mathrm{x}}^2}\mathrm{.}$

В равнобедренном треугольнике $SBC$ найдем косинус угла $SCB$:
$\cos \mathrm{\angle }\mathrm{SCB}=\frac{25{\mathrm{x}}^2+25{\mathrm{y}}^2-25{\mathrm{y}}^2}{2\cdot 5\mathrm{x}\cdot 5\mathrm{y}}=\frac{25{\mathrm{x}}^2}{50\mathrm{xy}}=\frac{\mathrm{x}}{2\mathrm{y}}\mathrm{.}$

Косинус этого же угла выразим из треугольника $MBC$:
$\cos \mathrm{\angle }\mathrm{SCB}=\frac{16{\mathrm{y}}^2+25{\mathrm{x}}^2-25{\mathrm{x}}^2}{2\cdot 5\mathrm{x}\cdot 4\mathrm{y}}=\frac{16{\mathrm{y}}^2}{40\mathrm{xy}}=\frac{2\mathrm{y}}{5\mathrm{x}}\mathrm{.}$

Приравняем полученные значения:
$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{x}}{2\mathrm{y}}=\frac{2\mathrm{y}}{5\mathrm{x}} \\ 5{\mathrm{x}}^2=4{\mathrm{y}}^2 \\ {\mathrm{x}}^2=0,8{\mathrm{y}}^2\mathrm{.} \end{gathered}$$

Наконец, подставим в выражение для косинуса искомого угла:
$\cos \mathrm{\angle }\mathrm{PKQ}=\frac{40{\mathrm{y}}^2-16{\mathrm{y}}^2}{\sqrt{21}\cdot 8{\mathrm{y}}^2}=\frac{24{\mathrm{y}}^2}{\sqrt{21}\cdot 8{\mathrm{y}}^2}=\frac{3}{\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{7}\mathrm{.}$

Ответ: б) $\frac{\sqrt{21}}{7}\mathrm{.}$