Задание №47995 ЕГЭ Профильной математике

а) Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую АС₁. Обозначим точку пересечения этой плоскости и окружности основания цилиндра, содержащую точку А, через точку С. Тогда СС₁ — образующая цилиндра. Отрезок АС пересекает ось цилиндра. Значит, он проходит через центр окружности основания цилиндра, то есть является ее диаметром. Следовательно, угол АВС прямой.

Прямая СС₁ является образующей цилиндра, поэтому она перпендикулярна прямой АВ. Таким образом, прямая АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости ВСС₁ (BС и СС₁), а значит, прямая АВ перпендикулярна плоскости ВСС₁ и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и ВС₁. Значит, угол АВС₁ прямой.

б) Поскольку прямые ВВ₁ и СС₁ параллельны, искомый угол равен углу АС₁С.

Треугольники АВС и АСС₁ являются прямоугольными, поэтому:

$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{A{B}^2+B_1{C_1}^2}=20.$

$tg \angle A{C}_{1}C=\frac{AC}{C{C}_1}=\frac{AC}{B{B}_1}=\frac{20}{26}=\frac{10}{13} \iff \angle A{C}_{1}C= arctg \frac{10}{13}.$