Задание №43700 ЕГЭ Профильной математике

а) Заметим, что M₁K₁ ⊥ K₁N₁ как катеты прямоугольного треугольника и $M_1{K}_1$ ⊥ K₁K, поскольку призма прямая. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $M_1{K}_1\perp N{K}_1{N}_1.$ Кроме того, $N_{1}K\perp K_{1}N$ как диагонали квадрата. NM₁ − наклонная, NK₁ − ее проекция на плоскость NKN₁, $N_{1}K$ − прямая в плоскости $NK{N}_1,$ перпендикулярная проекции. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $N{M}_1\perp K{N}_1,$ что и требовалось доказать.

б) Пусть P − середина NK₁. Тогда искомое расстояние равно расстоянию от точки P до прямой NM₁, поскольку прямая $N_{1}K$ перпендикулярна плоскости $N{M}_1{K}_1.$ Это расстояние равно половине высоты прямоугольного треугольника NM₁K₁, проведённой к гипотенузе, то есть

$d=\frac{N{K}_1\times M_1{K}_1}{2N{M}_1}=\frac{\sqrt{2}NK\times MK}{2\sqrt{2N{K}^2+M{K}^2}}=\frac{\sqrt{2}\times 3\times 4}{2\sqrt{2\times 9+16}}=\frac{6}{\sqrt{17}}=\frac{6\sqrt{17}}{17}.$