Задание №43880 ЕГЭ Профильной математике

а) Рассмотрим правильный тетраэдр N₁ML₁K. В нём N₁Q = N₁O = N₁P — апофемы боковых граней — равных равносторонних треугольников. Следовательно, боковые ребра пирамиды N₁QOP равны. Кроме того, в основании этой пирамиды лежит равносторонний треугольник QOP. Следовательно, пирамида правильная. Что и требовалось доказать.

б) Заметим, что

$V_{N_{1}QOP}=\frac{1}{4}{V}_{N_{1}M{L}_{1}K}$

так как $S_{△QOP }: S_{△M{L}_{1}K}=1:4,$ высота общая.

Куб MNKLM₁N₁K₁L₁ состоит из пирамид N₁ML₁K, MM₁N₁L₁, KN₁K₁L₁, N₁MNK и L₁MLK.

Объём куба равен V = 729. Тогда

$$\begin{gathered} V_{M{M}_1{N}_1{L}_1}=V_{K{N}_1{K}_1{L}_1}=V_{N_{1}MNK}=V_{L_{1}MLK}=\frac{V}{6}, \\ {V}_{N_{1}M{L}_{1}K}=V-\frac{4}{6}V=\frac{V}{3}, \\ {V}_{N_{1}QOP}=\frac{V}{12}=60,75. \end{gathered}$$