Задание №47997 ЕГЭ Профильной математике

а) Треугольники SBC и АВС равнобедренные и имеют общее основание. Проведем медианы SN и AN к этому основанию. Они попадут в одну точку точку N, которая является серединой ВС, и будут являться высотами данных треугольников. Тем самым прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ASN, а значит, и всей этой плоскости. Но тогда прямая ВС перпендикулярна любой прямой плоскости ASN. В частности, перпендикулярна прямой SA, что и требовалось доказать.

б) Построим высоту АМ треугольника ASN. Заметим, что АМ перпендикулярна плоскости SВС, поскольку по построению перпендикулярна прямой SN и в то же время перпендикулярна прямой ВС. Тогда прямая SN является проекцией SА на плоскость SBC, а значит, угол между прямой SA и плоскостью SBC есть угол ASM.

Заметим, что $SN=\sqrt{7-3}=2,$ а $AN=\sqrt{17-3}=\sqrt{14}.$ Пусть точка М делит ребро SN на отрезки x и $2-x$. Выразим квадрат катета AМ из треугольников AMS и АМN и приравняем найденные значения:

$$\begin{gathered} S{A}^2-S{M}^2=A{N}^2-N{M}^2\iff {\left(2\sqrt{3}\right)}^2-x^2={\sqrt{14}}^2-{(2-x)}^2\iff 12-x^2=14-4+4x-x^2\iff \\ \iff x=\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

Тогда $\cos \angle ASM=\frac{SM}{SA}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{4\sqrt{3}},$ откуда $\angle ASM=arc\cos \frac{1}{4\sqrt{3}}.$