Задание №43920 ЕГЭ Профильной математике

а) Пусть MO — высота пирамиды. Проекция отрезка PM на плоскость PKL — это отрезок PO. Проекция отрезка ML на плоскость PKL — это отрезок LO. Следовательно, проекция точки C  - это середина отрезка OL, точка H. Точки L, H, O, F лежат на одной прямой, причем LH = HO = OF, следовательно, FH = LO = PO. Таким образом, проекции отрезков FC и MP на плоскость основания пирамиды равны.

б) Обозначим высоту пирамиды за h. Тогда $CH=\frac{h}{2}.$ По пункту а) имеем:

следовательно,

$$\begin{gathered} 144-h^2=49-\frac{h^2}{4}\iff h=\frac{2\sqrt{95}}{\sqrt{3}}; \\ P{O}^2=P{M}^2-M{O}^2=144-\frac{380}{3}=\frac{52}{3}\iff PO=2\sqrt{\frac{13}{3}} \end{gathered}$$

Тогда $PK=2\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}}\times \sqrt{3}=2\sqrt{13},$

Таким образом, для искомого объема получаем $V=\frac{1}{3}\times h\times S_{PKL}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times \frac{3}{2}\times \frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{3}}\times 2\sqrt{13}\times \frac{2\sqrt{95}}{\sqrt{3}}=\frac{26\sqrt{95}}{3}.$