Задание №47994 ЕГЭ Профильной математике

а) Заметим, что по теореме о трёх перпендикулярах отрезок SH перпендикулярен ребру AB. По теореме Пифагора $A{S}^2=S{H}^2+A{H}^2$ и $B{S}^2=S{H}^2+B{H}^2,$ тогда $A{S}^2-B{S}^2=A{H}^2-B{H}^2.$ Также по теореме Пифагора $A{C}^2=A{H}^2+C{H}^2$ и $B{C}^2=B{H}^2+C{H}^2,$ следовательно, $A{C}^2-B{C}^2=A{H}^2-B{H}^2.$ Таким образом, получим $A{S}^2-B{S}^2=A{C}^2-B{C}^2.$ Что и требовалось доказать.

б) Пусть $AH=x,$ тогда ${10}^2-x^2={\left(2\sqrt{34}\right)}^2-{(18-x)}^2\iff 100-x^2=136-324+36x-x^2\iff x=8$. 

По теореме Пифагора $CH=\sqrt{100-64}=6,$ откуда $CO=3.$ Следовательно, $S{O}^2=C{S}^2-C{O}^2=9·17-9=144,$ получим $SO=12.$

Таким образом,

$V_{SABC}=\frac{1}{3}·SO·S_{ABC}=\frac{1}{3}·12·\frac{1}{2}·6·18=216.$