Задание №51731 ЕГЭ Профильной математике

а)В треугольнике SAB имеем: $S{B}^2=85=21+64=S{A}^2+A{B}^2,$ поэтому треугольник SAB прямоугольный с гипотенузой SB и прямым углом SAB. Аналогично, из равенства $S{D}^2=57=21+36=S{A}^2+A{D}^2$ получаем, что $\angle SAD=90°.$ Так как прямая SA перпендикулярная прямым AB и AD, прямая SA перпендикулярна плоскости ABD.

б)  На прямой AB отметим такую точку E, что BDCE  — параллелограмм, тогда BE  =  DC  =  AB и DB  =  CE. Найдём угол SCE. По теореме Пифагора: $AC=BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=10, SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=11$ и $S{E}^2=S{A}^2+A{E}^2=277.$

По теореме косинусов:

Искомый угол равен $arc\cos \frac{14}{55}.$

Ответ: б) $arc\cos \frac{14}{55}.$