Задание №49467 ЕГЭ Профильной математике

а) Введем систему координат, как показано на рисунке. В введенной системе координат имеем:

$M(-1; 2; 1), N(-1; 1; -1), B_1(1; 1; 1), C_1(0; 1; 1).$

$\stackrel{\rightharpoonup }{MN}=(0; -1; -2), \stackrel{\rightharpoonup }{MB}=(2; -1; 0),\stackrel{\rightharpoonup }{ B_1{C}_1}=(-1; 0; 0)$

$\left|\stackrel{\rightharpoonup }{MN}\right|=\sqrt{5}, \left|\stackrel{\rightharpoonup }{M{B}_1}\right|=\sqrt{5}.$

Таким образом, у нас получилось, что $MN=M{B}_1.$

б) Заметим, что проекцией B₁C₁ на плоскость DCC₁D₁ является точка C₁. Спроектируем MN на плоскость DCC₁D₁, получим отрезок M₁N₁. Таким образом, задача свелась к нахождению расстояния от точки C₁ до M₁N₁. Это расстояние равно длине высоты, проведенной из вершины C₁ треугольника N₁C₁M₁. Очевидно, что данный треугольник является прямоугольным, а его катеты равны 2 и 1. Тогда его гипотенуза находится по теореме Пифагора, она равна $\sqrt{5}.$ Следовательно, высота равна

$h=\frac{2·1}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

Ответ: б) $\frac{2\sqrt{5}}{5}.$