Задание №51074 ЕГЭ Профильной математике

а)  Пусть SH  — высота пирамиды SABC. Треугольник ASB равнобедренный, поэтому прямые AB и SM перпендикулярны. Прямая AB перпендикулярна плоскости SMC, поскольку она перпендикулярна прямым SM и SH. Значит, CM является не только медианой, но и высотой треугольника ABC, то есть треугольник ABC равнобедренный.

б)  В пирамиде SABC:

$$\begin{gathered} MH=CH=\sqrt{S{C}^2-S{H}^2}=3, \\ AH=\sqrt{S{A}^2-S{H}^2}=\sqrt{330}, \\ BM=AM=\sqrt{A{H}^2-M{H}^2}=2\sqrt{6}. \end{gathered}$$

Значит объём пирамиды равен $V=\frac{1}{3}SH·\frac{AB·CM}{2}=16\sqrt{6}.$