Задание №54595 ЕГЭ Профильной математике

Сечение (плоскость $\alpha$) проходит через точки $M$ и $N$, причем $MN$ — средняя линия. Это
означает, что отрезок $MN\parallel AB$ следовательно, $MN\parallel (ABC)$. По условию секущая
плоскость перпендикулярна плоскости $ABC$, следовательно, она пересекает
плоскость $ABC$ по уровню $PQ$, причем $PQ\parallel MN$. Таким образом, секущая плоскость
представляет собой трапецию $PMNQ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOE$,
где $SO$ — высота правильной пирамиды. Точка $O$ лежит на пересечении медиан
правильного треугольника (в основании пирамиды) и делит их в отношении 2:1, то есть
$CO=\frac{2}{3}CE$.

Точка $K$ является серединой отрезка $MN$, причем $KZ\perp CE$, откуда следует, что $KZ\parallel SO$,
следовательно, $ZE=ZO$. Так как $EO=\frac{1}{3}CE$, то $ZE=(\frac{1}{3}:2)\cdot CE=\frac{1}{6}CE$.
Таким образом, получаем, что $CZ:ZE=5:1$.
б) Найдем периметр трапеции $MNPQ$: $P=MN+NQ+PQ+MP$, где
$MN=\frac{1}{2}AB=3$, $PQ=\frac{5}{6}AB=\frac{5}{6}\cdot 6=5$.

Для вычисления сторон $MP=NQ$, найдем высоту $KZ=\frac{1}{2}SO=\frac{1}{2}\cdot 2=1$.

(Величина $SO=2$, находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $SOC$,
учитывая, что $OC$ — радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника и
равен $OC=\frac{6}{\sqrt{3}}$. Длину отрезка $NQ$ найдем из прямоугольного треугольника $NHQ$ (смотри
рисунок).)

Катет $NH=KZ=1$, а катет $HQ$ равен $HQ=\frac{PQ-MN}{2}=\frac{5-3}{2}=1$, $NQ=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

Получаем значение периметра $P=5+3+\sqrt{2}+\sqrt{2}=8+2\sqrt{2}$

Ответ: $8+2\sqrt{2}$