Задание №54637 ЕГЭ Профильной математике

а)  Прямая BN  — проекция B₁N на плоскость ABCD. Треугольники BCM и ABN равны по двум катетам, следовательно,

откуда

следовательно, прямая BN перпендикулярна прямой CM. По теореме о 3-x перпендикулярах прямые B₁N и CM перпендикулярны, ч. т. д.

б)  Проведём прямую NP параллельную прямой CM. Треугольник NPD подобен треугольнику CMB, значит, Рассмотрим пирамиду B₁CPN. Пусть отрезок h₁  — высота, проведенная из точки B₁, а отрезок h₂  — высота, проведенная из точки С. Тогда (записан двумя способами утроенный объем пирамиды). Найдем h₁. По т. Пифагора

Так как прямые NP и CM параллельны, то отрезок B₁N перпендикулярен прямой NP, следовательно