Задание №56424 ЕГЭ Профильной математике

а)  Пусть отрезок PH  — высота пирамиды PABCD, отрезок MN  — средняя линия треугольника APH (см. рис.).

Поскольку PABCD  — правильная пирамида, точка H  — центр квадрата ABCD, значит, и откуда Но, следовательно, Значит, плоскость BMN перпендикулярна плоскости BDP по признаку перпендикулярности плоскостей. Через точки B и M можно провести только одну плоскость, перпендикулярную BPD, и эта плоскость является плоскостью BMN, делящей высоту пирамиды пополам. Таким образом, утверждение задачи доказано.

б)  Прямая BN  — проекция прямой BM на плоскость BDP, значит, угол между прямой BM и плоскостью BDP равен углу между прямой BM и прямой BN, то есть острому углу MBN прямоугольного треугольника

Примем длину ребра данной пирамиды за a, тогда медиана равностороннего треугольника и, следовательно,

Ответ: