Задание №56423 ЕГЭ Профильной математике

а)  Пусть плоскость α пересекает стороны SB и AB в точках L и M соответственно. Поскольку плоскость α параллельна прямой ВС, прямые KL и BC параллельны. Следовательно,

что и требовалось доказать.

б)  Заметим, что прямые KN и SD параллельны, поскольку отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Тем самым в плоскости α лежат две пересекающиеся прямые KN и NM, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым SD и DA плоскости SDA. Тогда по признаку параллельности плоскостей плоскости α и SDA параллельны. Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми SA и KN можно найти как расстояние между этими параллельными плоскостями.

Пусть Р  — середина AD, H  — середина ВС. Построим треугольник SPH и пусть прямая HT перпендикулярна прямой SP. Кроме того, HT перпендикулярна AD и, следовательно, плоскости SDA, а вместе с ней α. Плоскость α пересекает ребро SB в точке L, причем, KL || BC. R  — точка пересечения KL и SH, таким образом, QR  — отрезок, соединяющий середину KL и середину MN. Тогда прямые SP и QR  —параллельны, а расстояние между ними равно искомому расстоянию между плоскостями SDA и α.

Заметим, что PH = AB = 8. В треугольнике SAP:

Пусть тогда применяя теорему Пифагора из треугольников SHT и PHT, получаем:

Тогда

По условию, поэтому а тогда плоскость сечения делит высоту HT в том же отношении, считая от точки T. Следовательно, расстояние между SP и QR есть одна восьмая высоты HT:

Ответ: б)