Задание №56372 ЕГЭ Профильной математике

а)  В плоскости AA₁D₁ проведём через точку E прямую, параллельную TF. Пусть она пересекает ребро A₁D₁ или его продолжение в точке G. Плоскость EFT проходит через точку G. Треугольник EGA₁ подобен равнобедренному треугольнику FTB₁, в котором FB₁  =  B₁T  =  2. Отсюда EA₁  =  A₁G  =  4, значит, точка G совпадает с точкой D₁.

б)  В плоскости BB₁C₁ из точки B₁ опустим перпендикуляр B₁K на отрезок FT. В плоскости EFT из точки K проведём перпендикуляр к FT, который пересекает ED₁ в точке L. Тогда ∠B₁KL  — угол между плоскостью EFT и плоскостью BB₁C₁ или смежный с ним. Из равнобедренного треугольника FB₁T

находим

Из равнобедренной трапеции EFTD₁ находим

Точка L  — середина отрезка ED₁, поэтому она удалена от сторон AA₁ и AD₁ параллелепипеда на 1. Значит, B₁L является диагональю параллелепипеда со сторонами 2, 2 и 3. Отсюда Из теоремы косинусов для треугольника B₁KL находим

Ответ: б)