Задание №56375 ЕГЭ Профильной математике

а)  Пусть точка H  — середина AC. Тогда

Вместе с тем,

а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник BMN является прямоугольным с прямым углом M.

б)  Проведём перпендикуляр NP к прямой A₁B₁. Отметим, что прямые NP и A₁A взаимно перпендикулярны, поскольку ребро призмы перпендикулярно ее основанию. Следовательно, прямая NP перпендикулярна плоскости ABB₁ боковой грани призмы. Поэтому прямая MP  — проекция прямой MN на плоскость ABB₁.

Прямые BM и MN взаимно перпендикулярны, поэтому, по теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах, прямые BM и MP также взаимно перпендикулярны. Следовательно, угол NMP  — линейный угол искомого двугранного угла.

Длина NP равна половине высоты треугольника A₁B₁C₁, то есть Поэтому

Следовательно,

Ответ: б)