Задание №56373. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки M и N являются серединами рёбер AB и

а)  Прямая BN  — проекция B₁N на плоскость ABCD. Треугольники BCM и ABN равны по двум катетам, следовательно,

$\angle BCM =\angle ABN=90 градусов минус \angle CBN,$

откуда $\angle BCM плюс \angle CBN=90 градусов,$ следовательно, прямая BN перпендикулярна прямой CM. По теореме о 3-x перпендикулярах прямые B₁N и CM перпендикулярны, ч. т. д.

б)

Проведём прямую NP параллельную прямой CM. Треугольник NPD подобен треугольнику CMB, значит, $дробь: числитель: PD, знаменатель: ND конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Рассмотрим пирамиду B₁CPN. Пусть отрезок h₁  — высота, проведенная из точки B₁, а отрезок h₂  — высота, проведенная из точки С. Тогда $h_1 умножить на S_CPN=h_2 умножить на S_B_1PN$ (записан двумя способами утроенный объем пирамиды). Найдем h₁. По т. Пифагора

$h_1 в квадрате плюс h_1 в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: h_1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =B_1N в квадрате =45 \Rightarrow дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби h_1 в квадрате =45 \Rightarrow h_1=2 корень из 5 ,$

откуда

$CM в квадрате = левая круглая скобка 2 корень из 5 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка корень из 5 правая круглая скобка в квадрате =25 \Rightarrow CM=5,$

получаем

$NP= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби CM= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .$

Так как прямые NP и CM параллельны, то отрезок B₁N перпендикулярен прямой NP, следовательно,

$S_B_1 NP= дробь: числитель: 3 корень из 5 умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 15 корень из 5 , знаменатель: 4 конец дроби .$

Значит,

$S_CPN= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AD умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби CD= дробь: числитель: 3, знаменатель: 16 конец дроби умножить на 2 корень из 5 умножить на 2 корень из 5 = дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби .$

Тогда

$h_2= дробь: числитель: h_1 умножить на S_CPN, знаменатель: S_B_1PN конец дроби = дробь: числитель: 2 корень из 5 умножить на дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: 15 корень из 5 , знаменатель: 4 конец дроби конец дроби =2.$

Ответ: б) 2.

Понятно ли решение?

Авторизуйся, чтобы посмотреть решение

Активируй TG-бот через QR-код или по кнопке
Введи код авторизации из TG-бота

Активировать TG-бот

Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ

При поддержке

Онлайн школа подготовки к ЕГЭ

ОБЩЕСТВО С ОГРАНИЧЕННОЙ ОТВЕТСТВЕННОСТЬЮ «НОВАЯ
ШКОЛА»
420500, РЕСПУБЛИКА ТАТАРСТАН, М.Р-Н ВЕРХНЕУСЛОНСКИЙ, Г.П. ГОРОД ИННОПОЛИС, Г ИННОПОЛИС, УЛ УНИВЕРСИТЕТСКАЯ, Д. 5, ЭТАЖ 1, ПОМЕЩ. 111

Контакты

+7 964 727-31-41

Служба поддержки

Ежедневно с 10:00 до 22:00

Мобильное приложение