Задание №54811 ЕГЭ Профильной математике

а) Заметим, что

$$\mathrm{\angle }A{B}_1{C}_1+\mathrm{\angle }{C}_1{B}_{1}C={180}^{\circ }\mathrm{.}$$

Четырёхугольник $BC{B}_1{C}_1$ вписан в окружность, поэтому

$$\mathrm{\angle }{C}_{1}BC+\mathrm{\angle }{C}_1{B}_{1}C={180}^{\circ }\mathrm{.}$$

Значит,

$$\mathrm{\angle }A{B}_1{C}_1=\mathrm{\angle }{C}_{1}BC=\mathrm{\angle }ABC\mathrm{.}$$

Следовательно, треугольники $ABC$ и $A{B}_1{C}_1$ подобны по двум углам.

б) Площадь треугольника $A{B}_1{C}_1$ в восемь раз меньше площади четырёхугольника $BC{B}_1{C}_1$, поэтому площадь треугольника $ABC$ в девять раз больше площади треугольника $A{B}_1{C}_1$ и коэффициент подобия этих треугольников равен 3. Пусть $A{B}_1=x$, тогда $AB=3x$. Найдём $B{B}_1$ по теореме косинусов:

$$B{B}_1^2=x^2+9x^2-6x\cdot x\cdot \cos {45}^{\circ }=x^2(10-3\sqrt{2})\mathrm{.}$$

Следовательно,

$$B{B}_1=x\sqrt{10-3\sqrt{2}}\mathrm{.}$$

Теперь по теореме синусов из треугольника $AB{B}_1$ получаем:

$$\frac{AB}{\sin \mathrm{\angle }A{B}_{1}B}=\frac{B{B}_1}{\sin \mathrm{\angle }A}\iff \sin \mathrm{\angle }A{B}_{1}B=\frac{AB}{B{B}_1}\sin \mathrm{\angle }A\mathrm{.}$$

Но $\sin \mathrm{\angle }A{B}_{1}B=\sin \mathrm{\angle }B{B}_{1}C$, поскольку синусы смежных углов равны. Получаем:

$$\sin \mathrm{\angle }B{B}_{1}C=\frac{AB}{B{B}_1}\sin \mathrm{\angle }A=\frac{3x}{x\sqrt{10-3\sqrt{2}}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{10-3\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$

Теперь находим радиус окружности, описанной около треугольника $B{B}_{1}C$:

$$2R=\frac{BC}{\sin \mathrm{\angle }B{B}_{1}C}=6\sqrt{20-6\sqrt{2}}\iff R=3\sqrt{20-6\sqrt{2}}\mathrm{.}$$

Ответ: $3\sqrt{20-6\sqrt{2}}$